2013-2014 год. 3-й тур (очный) / Valentin Gubarev


Условия задач


Содержание:

  1. Домино
  2. День рождения
  3. Свечи
  4. Копилки Матильды
  5. Чемпионату - 28 лет
  6. Сумма цифр равна двум
  7. За столом
  8. Сложение
  9. Лампы на кубе
  10. Ребус
  11. Матсити
  12. Секретный код
  13. Ваза
  14. Круг и равнобедренная трапеция
  15. Зрительный зал
  16. Пять НОК
  17. Участок земли
  18. Охота на призраков

1. Домино

0 0 _ _ 1 1 _ _ 0 3 2 0 1 3 ? 2 2 3 3

Матильда выложила 10 домино (от 0-0 до 3-3) в ряд. Два домино соприкосаются числами, отличающимися на 1. Матильда должна разместить ещё 3 домино 1-2, 0-1 и 2-3. Какое домино будет стоять на месте со знаком “?”?

Странно, но в задании домино, которые надо подставить перечислены как раз в той последовательности, в которой они и будут стоять в ряду из 10 домино. То есть: |0 0|1 2|1 1|0 1|0 3|2 0|1 3|2 3|2 2|3 3| Есть и другой способ расставить, но в месте знака вопроса всегда будет стоять домино 2-3, так как в другое место разместить её нельзя из-за отсутствия рядом 2 (числа на 1 меньшего, чем 3). Ответ: 2-3.

2. День рождения

Матиас празднует день рождения - 11 лет. Он пригласил друзей. Всем его друзьям 11 лет за исключеним двух, которым 10 лет и 12 лет. Матиасу и его друзьям всем вместе - 109 лет. Сколько друзей пригласил Матиас?

Вначале следует вычесть из 109 лет годы двух его друзей, которым нет 11 лет, то есть 109-10-12=87 лет. Остальным друзьям по 11 лет. 87 не делится нацело на 11, видимо авторы задачи считают, что Матиасу ещё не исполнилось 11 лет. Следует вычесть полные годы Матиаса из 87, то есть 87-10=77. Далее следует разделить 77 на 11, то есть 77:11=7 и не забыв двух друзей, которым 10 и 12 лет соответственно, получить сложением ответ на задачу (7+2=9). Ответ: 9.

3. Свечи

У Матиаса есть 5 одинаковых свечей. Через каждые два часа он зажигает новую свечу. Каждая свеча горит 8 часов. В течение какого количества часов будут гореть одновременно только три свечи?

В данной задаче важно понять, что ровно три свечи должно гореть. Решение лучше всего сделать графически, то есть изобразить шкалу времени, например, в виде горизонтальной линии. Выбрать масштаб, если, например, имеется лист в клеточку, то можно за 1 час выбрать длину стороны клетки. Изобразить 5 одинаковой длины (8 клеток) отрезков, каждый из которых смещать относительно предыдущего на 2-е клетки в одну и туже сторону, например, вправо. Посчитать количество отрезков времени, где горело ровно 3 свечи. Ответ: 4.

4. Копилки Матильды

Матильда коллекционирует копилки. Все её копилки содержат одну или несколько монет евро, и нет копилок с одинаковым количеством монет. Всего у Матильды есть 60 евро. Какое максимальное количество копилок может быть у неё?

Другими словами, необходимо разместить 60 монет (по 1 евро) так, чтобы максимизировать количество копилок с разным количеством монет. Такая задача решается "жадным алгоритмом". Пусть в первой копилке будет одна монета, во второй две, в третьей три и так далее. 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 Осталось ещё 5 монет (60-55=5), так как разместиь их ещё в одной капилке не получится, то их необходимо как-то разместить в тех, что уже имеются. Один из вариантов, например, положить их все в копилку с 10 монетами. Так как в задаче не требуется найти способ размещения, то на этом следует и остановиться. В сумме имеется 10 слагаемых, и, следовательно, максимальное количество копилок, которое может быть у Матильды, также 10. Ответ: 10.

5. Чемпионату - 28 лет

Запишем первое число - 1986 (год создания Чемпионата математических и логических игр). Выберем одну любую цифру в первом числе (1, 9, 8 или 6). Прибавим эту цифру к первому числу (1986) и получим второе число. Затем выбираем любую цифру из второго числа, прибавим её ко второму числу, и получим третье число. Повторив этот процесс много раз (любую цифру последнего числа складываем с самим числом и получаем следующее число), получим число 2014. Какое минимальное количество чисел было найдено?

Данную задачу можно решить аккуратно следуя алгоритму, указанному в условии задачи, то есть: 1986+1=1987 1986+9=1995 1986+8=1994 1986+6=1992 Затем, взяв каждое из чисел, проделать аналогичную процедуру, и так далее. Конечно, если на каком-то шаге получается число, которое получалось на предыдущем, то его далее в этой ветке решений рассматривать не следует, так как оно точно не является лучшим решением. Ответ: __

6. Сумма цифр равна двум

Запишем все натуральные числа, сумма цифр которых равна 2, в порядке возрастания: 2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001, 1010, 1100, 2000, …

Число 2 находится на первом месте, число 11 занимает второе место и т.д. Какое место занимает число 2000000?

Можно доказать, но достаточно и заметить, что количество чисел, удовлетворяющих условию между числами начинающимися на 2 увеличивается на еденицу. Между 2 и 20, одно число, между 20 и 200, их уже два, между 200 и 2000, их 3 и т.д. 2 находится на 1 месте, 20 на 3, 200 на 6, 2000 на 10 и т.д. Каждый раз следует прибавлять количество цифр в числе с суммой цифр равных двум и начинающихся на цифру 2. 1+2+3+4+5+6+7=28 Ответ: 28.

7. За столом

Группа из 9 человек завтракает в кафе за тремя столами по 3 человека за одним столом. В течение нескольких дней каждый из них сидел рядом со всеми остальными ровно два раза, при этом один раз справа и один раз слева. Сколько дней группа ходила завтракать в кафе?

Можно заметить, что 3-и человека за три дня сидя за одним столом выполнят все условия, указанные в задаче для данной тройки. 123, 231, 312, других вариантов нет. Теперь первому надо посидеть с другой парой и т.д., так как пар 4, то потребуется 3*4=12 дней. Ответ: 12.

8. Сложение

Заполните цифрами от 0 до 9 пустые ячейки в сложении так, чтобы: сложение было правильным; результат (сумма) был самым большим из возможных.

ххх+ххх=хххх

Ответ: смотри рисунок.

9. Лампы на кубе

Лампы размещены на рёбрах куба. Для каждой грани найдётся 8 ламп, расположенных на одинаковом растоянии от неё. Сколько всего ламп на кубе?

Ответ: ___.

10. Ребус

FFJM=JEU+2014

Расшифруйте каждую букву. Разные буквы обозначают разные цифры, одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры.

Ответ: ___.

11. Матсити

Матсити - город в виде квадрата сос тороной 5 км. Улицы, шириной которых можно принебречь, разделяют город на квадратные блоки длиной 200 м. Путь одного из трамваев города - замкнутая ломаная длиной 10 км. Определите максимальную площадь области внутри этой ломаной.

12. Секретный код

Клавиатура на двери сейфа содержит три клавиши: A, B, C. Секретный код - последовательность из трёх букв (A, B или C). Буква может повторяться 1, 2 или 3 раза в коде. Если три последние нажатые клавиши клавиатуры образовывают код, то дверь сейфа открывается. Сообщник рассказал Арсену, что код начинается с буквы A (возможны 9 таких случаев). Какое количество нажатий должен сделать Арсен, чтобы точно открыть сейф? В ответе укажите наименьшее из возможных значений.

13. Ваза

Предприятие изобрело очень прочные вазы. В 16-ти этажном доме тестировщик хочет определить, с какого максимального этажа ваза не разобьётся, если её бросить вниз. Этот этаж один и тот же для всех ваз. Ваза может быть брошена очень большое количество раз, не будучи разбитой, и это не изменит её технических характеристик. Предприятие дало тестировщику 2 вазы, которые он имеет право разбить. Какое наименьшее количество тестов необходимо выполнить, чтобы гарантировать нахождение наибольшего этажа, с которого ваза не разобьётся при падении?

14. Круг и равнобедренная трапеция

Четыре строны равнобедренной трапеции касаются окружности. Основания трапеции соотвтетсвенно равны 22 и 14 см. Определить площадь круга в кв.см. Возьмите пи=22/7 и ответ округлите до ближайшего целого. Замечание: на рисунке не соблюдены пропорции.

15. Зрительный зал

Кресла зрительного зала пронумерованы от 1 до 2014 ряд за рядом, начиная от сцены и слева направо вдоль сцены. Таким образом, место номер 2 находится на пересечении первого ряда и второй колонки. В каждом ряду одинаковое количество кресел и ряды полностью заполнены. Определите номер кресла на пересечении двадцатого ряда и четырнадцатой колонки.

16. Пять НОК

Впишите разные двузначные числа в пустые квадраты. На каждой из пяти линий, отмеченных чертой, число в середине должно быть Наименьшим Общим Кратным двух других. На диагонали число, расположенное сверху слева, должно быть больше числа, расположенного внизу справа.

17. Участок земли

Два брата делили между собой наследство - четырёхугольный участок земли, каждая из четырёх сторон которого измеряется целым числом дециметров. Общая сторона для двух прямоугольных треугольников равна 2014 дм. Определите периметр четырёхугольного участка в дм, если это значение меньше 10000 дм. Замечание: на рисунке не соблюдены пропорции.

18. Охота на призраков

Группа из N охотников борется с группой из N призраков. Каждый охотник вооружён лазером, способным уничтожить призрака лучом. Луч распространяется по прямой линии и заканчивается на призраке, уничтожая его. надо уничтожить всех призраков, при этом лучи не должны пересекаться. Охотники и призраки расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, чередуясь, по окружности в 2N точках. Для N=4 (4 призрака и 4 охотника) на рисунке представлены 14 выигрышных стратегий: для N = 1, 2, 3 или 5, количество выигрышных стратегий соотвтетсвенно равно 1, 2, 5 или 42. Сколько выигрышных стратегий существует для N=7?

© Code More Team, 2017
GitHub