2013-2014 год. 2-й тур / Valentin Gubarev

Задания 2-го тура
Бланк ответов 2-го тура


Условия задач


Содержание:

  1. Получи сто
  2. Из 3 квадратов
  3. Участки с деревьями
  4. Спички
  5. Крест
  6. Ели
  7. Зорро
  8. Нумерация страниц
  9. Число
  10. Участок Пьера Сифлера
  11. Обмен
  12. Из пяти квадратов - один
  13. Девять жетонов
  14. Последовательность
  15. Деление на 11
  16. Современное искусство
  17. Бипирамида
  18. Счастливый год

1. Получи сто

1 2 3 4 5 6 7

Расставьте четыре знака сложения между некоторыми цифрами от 1 до 7, не изменяя их порядка, так, чтобы результат вычисления стал равен 100.

В данной задаче можно было представить любое из двух решений:
1) 1+23+4+5+67 = 100
2) 1+2+34+56+7 = 100 Ответ: записать любой из приведённых вариантов.

2. Из 3 квадратов

Приближая два квадрата горизонтально, не поворачивая их, можно получить рисунок, на котором появятся три полностью нарисованных квадрата.
Какое наибольшее количество квадратов можно получить, сближая таким образом три квадрата?

Ответ: 8.

3. Участки с деревьями

Фигура содержит 4 плодовых дерева. Разделите эту фигуру по пунктирным линиям сетки на 4 одинаковых по форме части, в каждой из которых будет находится только одно дерево.

Ответ: имеется два варианта решения.

4. Спички

Даны 20 спичек (см. рисунок).
Удалите (зачеркните) только 3 спички так, чтобы можно было увидеть цифры 2, 0, 1 и 4. Каждая спичка должна принадлежать только одной цифре. Цифры выглядят так:

Ответ: смотри рисунок.

5. Крест

На рисунке число с внешней стороны показывает сумму всех чисел в данном столбце или строке. Впишите в пустые клетки все числа от 2 до 9.

Ответ: смотри рисунок.

6. Ели

Площадь маленькой ели слева 8 см2. Площадь ели в середине 15 см2. все треугольники равны между собой. Какова площадь большой ели справа? Ответ запишите в см2.

Ответ: ___.

7. Зорро

Зорро кончиком своей шпаги высек свою знаменитую букву Z на плаще, на котором был изображён рисунок (см. картинку). каждый из 13 квадратов изображения на плаще рассечён только одной линией. Нарисуйте букву Z, не проводя линий через вершины квадратов.

Ответ: смотри рисунок.

8. Нумерация страниц

Страницы книги прнумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 … Цифра, которая встретилась в номере последней страницы, появлялась 20 раз в номерах страниц всей книги. Если бы в книге было бы на 13 страниц меньше, тогда та же цифра была бы использована только 14 раз во всей книге. Сколько страниц в книге?

Ответ: ___.

9. Число

Загадано число, обладающее свойствами:

Ответ: ___.

10. Участок Пьера Сифлера

Пьер Сифлер имеет участок земли в виде прямоугольной трапеции. Эта трапеция состоит из прямоугольника и равнобедренного прямоугольного треугольника с общей стороной. У прямоугольника, стороны которого измеряются целыми числами декаметров, площадь равная 1200 м2. Определите общую площадь участка Пьера Сифлера. Ответ запишите в м2.

Ответ: ___.

11. Обмен

На этой шахматной минидоске возможны движения:

12. Из пяти квадратов один

Разделите фигуру на минимальное количество частей так, чтобы из всех них можно было собрать один большой квадрат.

13. Девять жетонов

Имеется девять жетонов. Они все расположены в квадрате 3х3 (см. картинку). За один обмен можно поменять местами положение двух любых жетонов из квадрата. Какое минимальное количество обменов необходимо произвести, чтобы получить квадрат, в котором суммы чисел в каждой строке и в каждом столбце, а также на двух диагоналях были равны 6?

14. Последовательность

Дана последовательность a1 = 20, a2 = 14. Затем, для каждого следующего элемента последовательности действует соотношение a_n+2 = (1+a_n+1) / a_n.
Таким образом; a_3 = 3/4, и т.д. Найдите a_2014. Если ответ не является целым, тогда запишите его в виде несократимой дроби.

15. Деление на 11

Матильда разделила трёхзначное на 11. Она удивилась, т.к. частное оказалось целым числом, равным сумме квадратов цифр в исходном числе. Определите первоночальное число.

16. Современное искусство

Картина художника Река Тангеля представляет собой большой прямоугольник. Длина и ширина маленького белого прямоугольника в центре соответственно равны 20 и 14 дециметров. Длина и ширина каждого маленького серого прямоугольника измеряют целыми числам дециметров. Площади четырех серых маленьких прямоугольников одинаковы. Определите минимально возможную площадь маленького серого прямоугольника. Ответ выразите в дм2.

17. Бипирамида

На рисунке изображен драгоценный камень в виде бипирамиды. Она имеет 2 вершины, в которых сходятся по 5 ребер, и 5 вершин, в которых сходятся по 4 ребра. Все 15 ребер одинаковы и имеют длину 19 мм. Разделим бипирамиду на 5 одинаковых четырехгранника (см. рисунок), в которых пять из шести ребер являются ребрами бипирамиды. Определите длину шестого ребра четырехгранника. Если необходимо, примите cos(pi/10) = 0,95.

18. Счастливый год

N_1 = 13^0, N_2 = 13^1, N_3 = 13^2, N_4 = 2014. Затем, каждый следующий член последовательности равен сумме четырёх предыдущих членов. Так, N_5 = 13^0 + 13^1 + 13^2 + 2014 = 13^3. Какое количество цифр будет содержать N_2014? Если необходимо, примите lg(1,928)=0,285, lg(8.748)=0.942.

Следует начать с вычисления очередного N[i]: 1, 13, 169, 2014, 2197, ... каждый раз складывать по 4 числа не обязательно, то есть вместо N[i] = N[i-1] + N[i-2] + N[i-3] + N[i-4] можно вычислять так: N[i] = 2 * N[i-1] - N[i-5] N[6] = 2 * 2197 - 1 = 4393 N[7] = 2 * 4393 - 13 = 8773 N[8] = 2 * 8773 - 169 = 17377 N[9] = 2 * 17377 - 2014 = 32740 N[6] / N[5] = 1,9995 N[7] / N[6] = 1,9970 N[8] / N[7] = 1,9807 N[10] = 2 * 32740 - 2197 = 63283 N[11] = 2 * 63283 - 4393 = 122173 N[12] = 2 * 122173 - 8773 = 235573 N[13] = 2 * 235573 - 17377 = 453769 N[14] = 2 * 453769 - 32740 = 874798 N[14] / N[13] = 1,9278 Далее отношения будут отличаться незначительно, а их логарифмы и того меньше. Так как lg(1,928)=0,285 и lg(N[i]) = 0,285 * lg(N[i-1]), следует, lg(N[2014]) = 2000 * 0,285 + 6 = 576 где 6 - количество цифр в записи N[14] Ответ: 576 цифр в записи числа N[2014].
© Code More Team, 2017
GitHub