У дядюшки Боба в кошельке 10 монет: 5 монет по 1 евро и 5 монет по 0,50 евро. Он разделил монеты между Матильдой, Матиасом и Матье так, чтобы каждый получил одинаковую сумму денег. Матильда и Матиас получили одинаковое количество монет. Сколько монет по 1 евро и сколько монет по 0,50 евро получил Матье?
Сумма денег равна 5×1+5×0.50=7.50 евро. По условию задачи эту сумму разделили на 3-х человек, таким образом каждый из них получил 7.50/3=2.50 евро. Значит, каждый из упомянутых в задаче получил нечётное количество монет по 0.50 евро. Выдадим каждому по одной. Оставшиеся 2 монеты по 0.50 евро уйдут одному из участников. Всего осталось 7.50-3×0.50=6 евро. Разделив 6 евро на 3-х получим по 2 евро. Так как Матильда и Матиас получили одинаковое количество монет, то монеты по 0.50 евро достались Матье.
Ответ: Матье получил 1 монету ценностью в 1 евро и 3 монеты по 0.50 евро.
2. Даты года
День месяца (от 01 по 31) и номер месяца (от 01 по 12) записываются с использованием двух цифр. Сколько дат с 01 января (01.01) по 31 декабря (31.12) можно составить, используя цифры 2, 0, 1, 4?
Заметим, что в задаче не указано сколько раз можно использовать каждую из возможных цифр в дате (речь идёт о цифрах: 2, 0, 1, 4).
Первый вариант решения (цифры могут повторяться)
Так как предполагается решение этой задачи школьниками начальных классов, приведём решение без формул комбинаторики.
У нас имеется всего 4-е позиции для размещения цифры и всего 4-е различные цифры, однако, при попытке перебрать все варианты оказывается, что их достаточно много. По времени конечно можно справиться и с такой задачей, но есть большие шансы ошибиться.
Заметим, что вначале, можно составить все возможные дни месяца, затем составить все возможные номера месяцев и найти решение, как сумму количеств дней в каждом из месяцев.
Все комбинации: 00, 01, 02, 04, 10, 11, 12, 14, 20, 21, 22, 24, 40, 41, 42, 44.
Дням месяца удовлетворяют числа от 1 до 31 включительно: 01, 02, 04, 10, 11, 12, 14, 20, 21, 22, 24 (11 чисел).
Номерам месяцев удовлетворяют числа от 1 до 12 включительно: 01, 02, 04, 10, 11, 12 (6 чисел).
Ответ: 11×6=66 дат (цифры могут повторяться).
Второй вариант решения (каждая цифра в одном экземпляре)
Переберём все возможные варианты. Первая цифра может быть 0, 1 или 2 (4 быть не может). Для каждого из таких вариантов переберём все возможные комбинации остальных 3-х цифр).
0: 124, 142, 214, 241, 412, 421
1: 024, 042, 204, 240, 402, 420
2: 014, 041, 104, 140, 401, 410
Понятно, что предпоследняя цифра не может быть 4 или 2, так как это первая цифра в запси числа соответствующего номеру месяца. Удовлетворяющих условию даты всего 6 последовательностей: 04.12, 12.04, 14.02, 21.04, 24.01, 24.10
Ответ: 6 дат (каждая цифра встречается в записи даты один раз).
3. Утверждение
Вставьте два числа так, чтобы утверждение в рамке было математически верным.
В этой рамке:
1. есть … нечетное(ых) число (чисел).
2. есть … четное(ых) число (чисел).
Заметим, что необходимо вставить всего 2 числа, таким образом в рамке будет всего 4 числа. Из указанного следует, что сумма вписываемых нами чисел должна быть равна 4. В рамке уже присутствует одно чётное и одно нечётное число. Существует всего 3-и варианта: (1,3), (2,2) или (3,1). Подставляем последовательно все (три) возможных значения и проверяем стало ли утверждение в рамке математически верным.
Первый вариант неверный
В этой рамке:
1. есть 1 нечетное(ых) число (чисел).
2. есть 3 четное(ых) число (чисел).
Второй вариант неверный
В этой рамке:
1. есть 2 нечетное(ых) число (чисел).
2. есть 2 четное(ых) число (чисел).
Третий вариант верный
В этой рамке:
1. есть 3 нечетное(ых) число (чисел).
2. есть 1 четное(ых) число (чисел).
Ответ: 3 нечётных и 1 чётное.
4. Пирамида
В пирамиду из пронумерованных банок бросают мяч. Банка, задетая мячом, падает, увлекая за собой банки, расположенные над ней. Игроку записывается сумма чисел на сбитых банках. Матиас набрал 40 очков. Какую банку сбил его мяч?
Данная задача может быть решена обычным перебором всех возможных вариантов. Однако, можно немного быстрее, если подмечать некоторые моменты. Чтобы набрать 40, надо сбить не менее 5 банок, значит верхник три будут сбиты. Сумма трёх верхних составит 10+8+9=27. До сорока нехватает: 40-27=13. Подходит 6 и 7, но для этого нужно будет сбить две банки. Тут можно заметить, что 7=5+2.
Проверим: 2+5+6+8+9+10=40.
Ответ: 2-ю банку сбил его мяч.
5. Браслеты
У Матильды 4 одинаковых браслета. Когда она положила 3 браслета на стол, то они образовали 7 замкнутых областей. Какое максимальное количество областей она может получить, если добавит четвертый браслет?
В данной задаче доказательство сложно, но для решения это не всегда обязательно. Одной окружностью, заданного радиуса мы можем пересечь не более 6 участков, разделив их на 2 части каждый. Следовательно, максимально может быть получено 7+6=13 участков.
Ответ: максимальное количество участков равно 13.
6. Песни
На школьном празднике Адель, Барбара, Селин и Далила исполнили несколько песен. Каждая песня была исполнена тремя из четырех девушек. Адель исполнила только 4 песни. Далила исполнила наибольшее количество песен – 8. Сколько песен было исполнено на этом празднике?
Понятно, что песен не может быть меньше 8. Далее необходимо узнать верхнюю границу, для чего запишем формулу N×3=K, где N - количество песен, которые были исполнены на празднике, K - количество исполнений, так как каждую песню исполнило ровно 3 девушки.
Складывая количество известных исполнений, то есть 4+8=12 (исполнения Адель и Далилы) и вычиатя из общего количества становится известно сколько исполнений приходится на остальных двух девушек (Барбара и Селин).
Учитывая, что каждая из них не могла исполнить более 8 или 7 песен (зависит от того, как понимать условие задачи (Далила исполнила наибольшее количество песен – 8). Будем для ясности считать, что Далила исполнила строго больше песен, чем любая из других исполнительниц. Тогда суммарное количество исполнений Барбары и Селин не превосходит 7×2=14 песен.
Получается неравенство: N×3-12 ≥ 14, откуда следует, что N ≥ (14+12)/3 = 26/3
Округляя результат в меньшую сторону получаем 26/3=8. Нижняя и верхняя граница совпали, ответ к задаче 8.
Приведём пример распределения песен между участницами. Знаками "+" обозначено исполнение соответствующей песни.
Адель
+
+
+
+
Барбара
+
+
+
+
+
+
Селин
+
+
+
+
+
+
Далила
+
+
+
+
+
+
+
+
Однако, если считать, что хотя бы одна из участниц может также как и Далила исполнить 8 песен, то 8×2=16.
Получается неравенство: N×3-12 ≥ 16, откуда следует, что N ≥ (16+12)/3 = 28/3 = 9
Пример для N=9
Адель
+
+
+
+
Барбара
+
+
+
+
+
+
+
+
Селин
+
+
+
+
+
+
+
Далила
+
+
+
+
+
+
+
+
Ответ: 8 песен (официальный, то есть в задаче имелось ввиду, что Далила исполнила строго больше песен, чем другие участницы).
7. Магический волчок
Одиннадцать кругов волчка содержат все числа от 1 до 11. Сумма чисел, расположенных на каждой линии из трех или пяти кругов, всегда равна 22. Числа от 4 до 10 стерты. Впишите эти числа в пустые круги.
В данной задаче необходимо решить последовательно множество примеров в одно действие. Так как сумма чисел, расположенных на одной линии равна 22, то каждый раз, имея только одно неизвестное в линии, оно вычисляется обычным вычитанием.
Для первой горизонтали: 22-11-2 = 9. После этого, все линии имеют не менее двух неизвестных. Выберем вершину, находящуюся на наибольшем количестве линий (центральную) и попробуем вставлять различные ещё неиспользованные числа.
Остались числа: 4, 5, 6, 7, 8, 10, назовём их свободными.
Подставив 10, в линии 11 - 10 будет 21, что бы получить 22 необходимо поставить 1, а свободного такого числа нет, значит 10 в центр ставить нельзя.
Подставив 8, в линии 11 - 8 будет 19, что бы получить 22 необходимо поставить 3, а свободного такого числа нет, значит 8 в центр ставить нельзя.
Подставив 7, в линии 1 - 2 - 7 - 3 будет 13, что бы получить 22 необходимо поставить 9, а свободного такого числа нет, значит 7 в центр ставить нельзя.
Подставив 6, в линии 1 - 2 - 6 - 3 будет 12, что бы получить 22 необходимо поставить 10, в линии 11 - 6 будет 17, что бы получить 22 необходимо поставить 5, в линии 9 - 6 будет 15, что бы получить 22 необходимо поставить 7. Все указанные действия не противоречат условию задачи и можно запомнить, что 6 возможно следует разместить в центре.
Подставив 5, в линии 1 - 2 - 5 - 3 будет 11, что бы получить 22 необходимо поставить 11, а свободного такого числа нет, значит 5 в центр ставить нельзя.
Подставив 4, в линии 1 - 2 - 4 - 3 будет 10, что бы получить 22 необходимо поставить 12, а свободного такого числа нет, значит 4 в центр ставить нельзя.
Перебрав всех возможных кандидатов в центр окзалось единственно возможным поставить число 6.
Далее всё разрешается без перебора. Находим ответ для тех линий, в которых осталось одно неизвестное: 22-11-6=5, 22-9-6=7, 22-11-7=4, 22-9-5=8, 22-5-7=10. Проверим ещё вертикальную линию по центру: 1+2+6+10+3=22.
Ответ: смотри рисунок, меньшими символами цифр показаны вычисленные значения, большими заданные в задаче.
8. Число Матиаса
Матиас написал число из трех цифр, причем последняя цифра – 5. Если перемножить цифру сотен и цифру десятков, то полученный результат будет в 25 раз меньше числа, записанного Матиасом. К несчастью, две первые цифры числа скрыты под чернильными кляксами. Какое число написал Матиас?
Обозничим количество сотен через A, а количество десятков через B и составим уравнение, которое вытекает из условия задачи.
A×B×25 = A×100+B×10+5
Слева в выражении в 25 раз более крупная величина, чем произведение количества сотен на количество десятков, справа число Матиаса разложенное по степеням десятки.
И левая и правая часть уравнения делится на 5, сократим и перепишем уравнение: 5×A×B = 20×A+2×B+1
Левая часть уравнения всё также кратна 5, а вот чтобы правая часть уравнения была кратна 5, необходимо, чтобы выражение 2×B равнялось величине, которая в своей записи на конце имеет цифру 4 или 9. Так как 2×B всегда чётно, то остаётся вариант заканчивающийся на 4, то есть цифра B=7 (2×7=14).
Зная значение B подставим его в равенство и найдём A из уравнения: 35×A = 20×A+15, откуда 15×A = 15, и соответственно A=1.
Проверим: 1×7×25 = 140+35 = 175.
Ответ: 175.
9. Бамбуковый треугольник
У Матильды 5 бамбуковых палочек длиной 2 см, 3 см, 4 см, 5 см и 6 см. Из трех палочек можно составить треугольник, который показан на рисунке. Сколько РАЗНЫХ треугольников может составить Матильда, считая образец?
В данной задаче нужно помнить правило, что сумма двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны, то есть, например, не существует треугольника со сторонами 2, 3 и 6, так как 2+3 < 6.
В данной задаче ограничения малы и потому можно просто аккуратно перебрать все возможные варианты: 234, 245, 256, 345, 346, 356, 456.
Также можно было несколько по иному интерпретировать правило, что разность двух длинных сторон должна быть меньше самой короткой.
Тогда для короткой стороны "2" мы получаем все пары "рядом стоящих длин" (34, 45, 56). Для короткой стороны "3" мы получаем все пары "рядом стоящих длин" (45, 56), а так же через один: (46). И последнее для "4" единственная пара "рядом стоящих" (56). Понятно, что при таком восприяти правил можно количество для каждого случая рассчитывать по формуле, а не перебором, тогда задачу можно будет решить в реальном времени и с гораздо большим количеством бамбуковых палочек.
Ответ: 7 треугольников.
10. Последовательность Матиаса
Первое число Матиаса – это 7. Он возводит его в квадрат (7×7=49), затем прибавляет 1 к сумме цифр (4+9+1=14). 14 становится вторым числом в последовательности Матиаса. И так далее Матиас прибавляет 1 к сумме цифр квадрата предыдущего числа. Каким будет тысячное число в последовательности Матиаса?
В этой задаче следовало заметить, что величины чисел не будут расти до бесконечности, следовательно, можно просто попробовать начать выполнять операции с надеждой, что величины начныт повторяться (появится цикл).
Эмпирически факт того, что величины не будут расти до бесконечности можно показать на таком примере: предположим, что в какой-то момент получилось число 10000, тогда чтобы его получить, мы должны были возводить в квадрат число 100, но что бы на предыдущем шаге получить число 100, нам пришлось бы просуммировать 12 цифр, так как даже 11 девяток не дадут 100. В свою очередь число, состоящее из 12 цифр конечно значительно больше 10000 и оно не могло было получено, так как и 10000 мы получить не смогли!
И так, решаем: 7 -> 14 -> 17 -> 20 -> 5 -> 8 -> 11 -> 5
8 число в последовательности совпало с 5, то есть цикл найден и он состоит из 3-х элементов: 5 - 8 - 11.
Как узнать 1000 число? Вычтем ацикличное количество элементов (их четыре: 7, 14, 17 и 20) из тысячи: 1000-4 = 996. Можно считать, что Матиас начинает с числа 5 и хочет знать, каким будет 996 число.
Разделим 996 на 3 (количество элементов в цикле): 996/3 = 332 с нулевым остатком. Если бы остаток был равен 1, тогда это было бы число 5. Какое число перед 5 в цикле? Ответ на вопрос 11.
Ответ: 11 - тысячное число в последовательности Матиаса.
11. Друзья
В группе друзей, собравшихся на праздник, более 40% парней и более 50% девушек. Каково минимальное количество собравшихся?
12. Прозрачные фигуры
Цифры от 1 до 9 имеют определенный стиль записи и распечатаны на пяти прозрачных формах, каждая из которых может быть повернута в любую сторону и наложена на другие. Уложите эти пять форм в коробку 3×3 таким образом, чтобы их стороны образовали горизонтальную или вертикальную линии. Каждая из девяти цифр должна быть единственной в коробке и должна быть читабельна.
13. Роза ветров
Эта роза ветров построена в квадрате со стороной 18 см. Какова площадь серой фигуры? Дайте ответ в \(см^2\), округлив его до целого количества \(см^2\) (по правилам математики).
14. Два прямоугольника
На листе формата А5 (это лист размером 14,8 см на 21 см), Матильда начертила 2 прямоугольника, стороны которых измеряются целыми значениями см. Эти два прямоугольника имеют одинаковый периметр, но площадь второго в два раза больше площади первого. Каков периметр этих прямоугольников?
15. Числа года
Если прибавить к числу 2014 произведение его четырех цифр: 2014+2∙0∙1∙4, то получится 2014. Найдите другое число, сумма которого с произведением его цифр будет равна 2014.
16. Участок
На бесконечном во все стороны плане находятся квадратные секторы со стороной 1 м. Мы хотим отгородить участок с помощью 20-ти барьеров длиной по 5 м. Края каждого барьера должны находиться в двух точках плана.
Какова максимально возможная площадь огороженного участка? Дайте ответ в \(м^2\), округлив его до целого значения (по правилам математики).
17. Дорожный указатель
Дорожный указатель в Математической Стране, сообщающий об опасности камнепада, имеет форму треугольника. Внутри находятся три квадрата серого цвета, причем они имеют внутри треугольника общую вершину и две вершины каждого квадрата лежат на сторонах треугольника (см. рис.). Сторона каждого из трех квадратов равна 2,8 дм. Угол треугольника, лежащий напротив стороны в 10,8 дм, равен \(75^о\). Какова площадь треугольника? Ответ выразите в \(см^2\) и округлите до целого числа. При необходимости используйте \(\sqrt{2}=1,414\), \(\sqrt{3}=1,732\).
18. Монеты в Математической Стране
Деньги в Математической Стране называются «мато». Существует три вида монет: монета номиналом в 1 мато и две других монеты номиналом в целое количество мато, больше 1. Номинал этих монет определяется таким образом, чтобы среднее арифметическое количества монет для платежей – 0 мато, 1 мато, 2 мато, 3 мато и т.д. до 99 мато, являлось бы наименьшим. Найдите это среднее количество монет. Ответ округлите до сотых.
Ответ: смотри рисунок, меньшими символами цифр показаны вычисленные значения, большими заданные в задаче.
